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Calculateur – Éolien

Calculateur de distribution de Weibull du vent

Décrivez un régime de vent avec deux chiffres. Saisissez k et c, la vitesse moyenne et k, ou la moyenne et l’écart-type, pour obtenir la courbe de probabilité, les heures par classe de vitesse, le facteur de forme énergétique et les heures de fonctionnement d’une éolienne.

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Résultats

k = 2, c = 7,33 m/s, moyenne 6,5 m/s. Variabilité typique des latitudes moyennes (proche de Rayleigh, k = 2). Une éolienne qui démarre à 3 m/s tournerait environ 85 % de l’année.
Forme k / échelle c
2 / 7,33 m/s
moyenne 6,5 m/s
Vitesse moyenne
6,5m/s
σ 3,4 m/s
Vitesse médiane
6,11m/s
Vitesse la plus probable
5,19m/s
Vitesse portant le maximum d’énergie
10,37m/s
Facteur de forme énergétique
1,91
moy(v³)/moy(v)³
Heures de fonctionnement
7 410h/an
3–25 m/s · 85 % du temps
Heures à puissance nominale
750h/an
≥ 11,5 m/s
Heures de calme (sous le démarrage)
1 350h/an
Heures de tempête (au-delà de la coupure)
0,1h/an
Densité de probabilité et fonction de répartition
Heures par an dans chaque classe de vitesse

Heures par classe de vitesse

Classe (m/s)ProbabilitéHeures/anJours/anCumul% de l’énergie
0–11,84%1616,71,8%0%
1–25,32%46619,47,2%0%
2–38,24%72230,115,4%0,3%
3–410,32%90437,725,7%0,9%
4–511,44%1 00241,837,2%2%
5–611,62%1 01842,448,8%3,7%
6–710,99%96340,159,8%5,8%
7–89,79%85735,769,6%7,9%
8–98,25%72230,177,8%9,6%
9–106,6%57824,184,4%10,8%
10–115,04%44118,489,5%11,1%
11–123,67%32113,493,1%10,6%
12–132,56%2249,395,7%9,5%
13–141,71%1496,297,4%8%
14–151,09%95498,5%6,3%
15–160,67%592,499,1%4,7%
16–170,39%341,499,5%3,3%
17–180,22%190,899,8%2,3%
18–190,12%110,499,9%1,4%
19–200,06%60,299,9%0,9%
20–210,03%30,1100%0,5%
21–220,02%10,1100%0,3%
22–230,01%10100%0,2%
  • La loi de Weibull décrit bien la plupart des sites, mais pas tous : les climats bimodaux (brise de mer + vents synoptiques) et les sites très calmes peuvent s’en écarter. Comparez avec un histogramme de données mesurées.
  • k et c dépendent de la hauteur : k augmente en général légèrement jusqu’à ~100 m, puis diminue ; c suit à peu près la vitesse moyenne.

Comment fonctionne ce calculateur

Une année de mesures de vent contient des dizaines de milliers de valeurs sur 10 minutes. Pour concevoir ou comparer des éoliennes, les ingénieurs les condensent en une distribution de fréquences : combien d’heures le vent souffle dans chaque classe de vitesse. La distribution de Weibull reproduit cet histogramme remarquablement bien avec seulement deux nombres, le facteur de forme k et le facteur d’échelle c.

Vous pouvez partir de ce que vous connaissez :

  • vitesse moyenne + k : le cas habituel, par exemple à partir du Global Wind Atlas ;
  • moyenne + écart type : à partir des statistiques résumées d’un enregistreur ; k est résolu exactement à partir de σ/v̄ ;
  • k + c : directement depuis un atlas ou un rapport d’ajustement.

Le calculateur trace ensuite les courbes de densité de probabilité et de fréquences cumulées, tabule les heures et la part d’énergie dans chaque classe de vitesse, et indique les heures de fonctionnement d’une éolienne avec vos vitesses de démarrage, nominale et de coupure.

Les formules

pdf : f(v) = (k / c) × (v / c)^(k−1) × exp(−(v / c)^k) cdf : F(v) = 1 − exp(−(v / c)^k)

moyenne v̄ = c × Γ(1 + 1/k) σ = c × √(Γ(1 + 2/k) − Γ(1 + 1/k)²) médiane = c × (ln 2)^(1/k) mode = c × ((k − 1) / k)^(1/k) vitesse portant le max. d’énergie = c × ((k + 2) / k)^(1/k) heures dans la classe [a, b] = 8,760 × (F(b) − F(a))

Exemple chiffré : moyenne de 6,5 m/s, k = 2

Avec les valeurs par défaut (vitesse moyenne de 6,5 m/s, k = 2) :

  • facteur d’échelle c = 6,5 / Γ(1,5) = 7,33 m/s, écart type de 3,40 m/s
  • médiane 6,11 m/s, vitesse la plus probable 5,19 m/s
  • la vitesse qui porte le plus d’énergie est de 10,4 m/s, bien au-dessus de la moyenne
  • facteur de forme énergétique 1,91

Pour une éolienne qui démarre à 3 m/s, atteint sa puissance nominale à 11,5 m/s et se coupe à 25 m/s, le vent se trouve dans la plage de fonctionnement environ 7 400 heures par an (85 %), au-dessus de la vitesse nominale environ 750 heures, sous la vitesse de démarrage environ 1 350 heures, et au-delà de la vitesse de coupure bien moins d’une heure. Passez en mode moyenne + écart type avec les 3,4 m/s par défaut : la solution exacte donne k = 2,00, l’approximation de Justus 2,02. Dans la plage courante, les deux concordent étroitement.

Comment lire les résultats

  • Courbe de densité (pdf) : la fréquence relative de chaque vitesse ; son sommet correspond à la vitesse la plus probable.
  • Courbe cumulée (cdf) : la part du temps sous une vitesse donnée ; lisez-y par exemple la fraction d’heures calmes sous la vitesse de démarrage.
  • Graphique des heures par classe : les barres donnent les heures, la courbe la part d’énergie du vent dans chaque classe. Les deux sommets sont très éloignés : le temps se concentre aux vitesses modérées, l’énergie aux vitesses élevées.
  • Les heures de fonctionnement et à puissance nominale servent à planifier la maintenance et à estimer la fréquence à laquelle une éolienne plafonne à pleine puissance.

Valeurs typiques

Climat k typique Vitesse moyenne Caractère
Intérieur abrité, vallées 1,3–1,7 3–5 m/s beaucoup de calmes, vents forts occasionnels
Plaines continentales 1,8–2,2 6–8 m/s proche de Rayleigh
Côtes d’Europe de l’Ouest 2,0–2,3 7–9 m/s passages de fronts fréquents
Mer du Nord, en mer 2,1–2,4 9–10,5 m/s fort et assez régulier
Îles sous les alizés 2,8–3,5 7–9 m/s très régulier

Conseils

  • Ajustez sur la bonne période de moyenne. Des statistiques tirées de moyennes horaires donnent un k un peu plus élevé que des données sur 10 minutes, car la moyenne efface la variabilité de court terme.
  • k varie avec la hauteur. Il augmente en général un peu jusque vers 50 à 100 m, puis diminue. Utilisez les paramètres de la hauteur voulue, ou le calculateur de vitesse du vent selon la hauteur pour la moyenne.
  • Servez-vous de k pour contrôler les données. Un k ajusté inférieur à 1,3 ou supérieur à 4 sur un site ordinaire signale souvent un problème de capteur ou du givrage.
  • Calculez ensuite l’énergie. Saisissez la moyenne et k dans le calculateur d’éolienne (mode manuel) ou le calculateur de densité de puissance du vent.

Limites

Le modèle de Weibull est un ajustement, pas une loi. Les sites à deux régimes de vent (brise de mer plus tempêtes synoptiques, ou saison de mousson et saison sèche) peuvent être bimodaux, et une courbe de Weibull unique répartit alors mal l’énergie entre les classes. Les sites très calmes peuvent compter plus d’heures sans vent que ne le prévoit la courbe. L’ajustement par la méthode des moments utilisé pour moyenne + σ est fiable, mais un peu moins précis dans la queue des fortes vitesses que le maximum de vraisemblance ou la méthode WAsP par conservation de l’énergie. Comparez toujours la courbe ajustée à un histogramme de vos propres données quand vous en disposez.

Méthode et hypothèses

Densité f(v) = (k/c)(v/c)^(k−1) e^{−(v/c)^k} ; fonction de répartition F(v) = 1 − e^{−(v/c)^k}. Moyenne = c·Γ(1+1/k), σ = c·√(Γ(1+2/k) − Γ(1+1/k)²), médiane = c(ln 2)^{1/k}, mode = c((k−1)/k)^{1/k}, vitesse portant le maximum d’énergie = c((k+2)/k)^{1/k}. À partir de la moyenne et de σ, k est résolu exactement à partir de σ/v̄ par dichotomie (l’approximation de Justus de 1978, k ≈ (σ/v̄)^−1,086, est affichée pour comparaison). Heures dans une classe = 8 760 × [F(b) − F(a)].

Questions fréquentes

Qu’est-ce que la distribution de Weibull en énergie éolienne ?
Une loi de probabilité à deux paramètres qui décrit la fréquence de chaque vitesse de vent sur un site. Le facteur de forme k décrit la variabilité (k faible = vent en rafales, k élevé = vent régulier) et le facteur d’échelle c (en m/s) est proche de la vitesse moyenne (c ≈ 1,13 × moyenne pour k = 2). Elle s’ajuste bien à la plupart des séries de vent mesurées et constitue la façon standard de résumer un régime de vent.
Comment calculer les paramètres k et c de Weibull à partir de mesures de vent ?
La méthode la plus simple utilise la moyenne et l’écart type de vos vitesses mesurées : k découle du rapport σ/v̄ (ce calculateur le résout exactement ; l’approximation de Justus donne k ≈ (σ/v̄)^−1,086), puis c = v̄ / Γ(1 + 1/k). Le maximum de vraisemblance ou la méthode WAsP s’ajustent mieux quand vous disposez de la série temporelle complète.
Quel est un facteur de forme de Weibull typique ?
La plupart des sites intérieurs et côtiers des latitudes moyennes ont un k compris entre 1,8 et 2,3. Les sites continentaux ou montagneux à rafales peuvent descendre à 1,4–1,7 ; les régions d’alizés et certains sites en mer atteignent 2,5–3,5. Faute d’information, on suppose habituellement k = 2 (la distribution de Rayleigh).
Qu’est-ce que la distribution de Rayleigh ?
C’est le cas particulier de la distribution de Weibull avec k = 2. Elle ne demande que la vitesse moyenne du vent et sert beaucoup aux estimations rapides ainsi que dans les normes d’éoliennes (l’IEC 61400-1 et -12-1 donnent la production annuelle pour des distributions de Rayleigh).
Qu’est-ce que le facteur de forme énergétique ?
Le rapport entre la moyenne des cubes des vitesses et le cube de la vitesse moyenne. Il indique combien un vent variable amplifie la puissance disponible par rapport à un vent constant de même moyenne : 1,91 pour k = 2, environ 2,7 pour k = 1,5 et 1,4 pour k = 3.
Combien d’heures par an une éolienne fonctionne-t-elle ?
En général 70 à 90 % de l’année, car les éoliennes commencent à produire vers 3 m/s. Avec une moyenne de 6,5 m/s et k = 2, le vent se situe entre 3 et 25 m/s environ 85 % du temps, mais il ne dépasse une vitesse nominale typique de 11,5 m/s que pendant environ 750 heures.

Sources et références

  1. Justus, C.G., Hargraves, W.R., Mikhail, A., Graber, D. (1978). Methods for estimating wind speed frequency distributions. Journal of Applied Meteorology 17(3)
  2. Troen, I. & Petersen, E.L. (1989). European Wind Atlas. Risø National Laboratory (ajustement de Weibull WAsP)
  3. IEC 61400-12-1 : Power performance measurements, AEP pour des distributions de Rayleigh
  4. Global Wind Atlas : paramètres de Weibull k et A pour n’importe quel lieu

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