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Rechner: Wind

Rechner für die Weibull-Verteilung der Windgeschwindigkeit

Beschreib ein Windklima mit zwei Zahlen. Gib k und c, mittlere Geschwindigkeit und k oder Mittelwert und Standardabweichung ein und erhalte Wahrscheinlichkeitskurve, Stunden pro Geschwindigkeitsklasse, Energiemusterfaktor und Betriebsstunden einer Windkraftanlage.

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Ergebnisse

k = 2, c = 7,33 m/s, Mittelwert 6,5 m/s. Typische Windschwankung mittlerer Breiten (nahe Rayleigh, k = 2). Eine Turbine mit 3 m/s Anlaufgeschwindigkeit würde sich etwa 85 % des Jahres drehen.
Formfaktor k / Skalenfaktor c
2 / 7,33 m/s
Mittelwert 6,5 m/s
Mittlere Geschwindigkeit
6,5m/s
σ 3,4 m/s
Median der Geschwindigkeit
6,11m/s
Häufigste Geschwindigkeit
5,19m/s
Geschwindigkeit mit maximaler Energie
10,37m/s
Energiemusterfaktor
1,91
Mittel(v³)/Mittel(v)³
Betriebsstunden
7.410h/Jahr
3–25 m/s · 85 % der Zeit
Stunden bei Nennleistung
750h/Jahr
≥ 11,5 m/s
Flautestunden (unter Anlaufwind)
1.350h/Jahr
Sturmstunden (über Abschaltwind)
0,1h/Jahr
Wahrscheinlichkeitsdichte & Verteilungsfunktion
Stunden pro Jahr in jeder Geschwindigkeitsklasse

Stunden pro Geschwindigkeitsklasse

Klasse (m/s)WahrscheinlichkeitStunden/JahrTage/JahrKumuliert% der Energie
0–11,84%1616,71,8%0%
1–25,32%46619,47,2%0%
2–38,24%72230,115,4%0,3%
3–410,32%90437,725,7%0,9%
4–511,44%1.00241,837,2%2%
5–611,62%1.01842,448,8%3,7%
6–710,99%96340,159,8%5,8%
7–89,79%85735,769,6%7,9%
8–98,25%72230,177,8%9,6%
9–106,6%57824,184,4%10,8%
10–115,04%44118,489,5%11,1%
11–123,67%32113,493,1%10,6%
12–132,56%2249,395,7%9,5%
13–141,71%1496,297,4%8%
14–151,09%95498,5%6,3%
15–160,67%592,499,1%4,7%
16–170,39%341,499,5%3,3%
17–180,22%190,899,8%2,3%
18–190,12%110,499,9%1,4%
19–200,06%60,299,9%0,9%
20–210,03%30,1100%0,5%
21–220,02%10,1100%0,3%
22–230,01%10100%0,2%
  • Weibull passt an den meisten Standorten gut, aber nicht überall: Bimodale Windklimate (Seewind + großräumige Winde) und sehr windschwache Standorte können abweichen. Vergleiche deshalb mit einem Histogramm gemessener Daten.
  • k und c hängen von der Höhe ab: k steigt bis etwa 100 m meist leicht an und fällt dann; c wächst ungefähr mit der mittleren Geschwindigkeit.

So funktioniert der Rechner

Ein Jahr Windmessung umfasst Zehntausende 10-Minuten-Werte. Um Anlagen auszulegen oder zu vergleichen, verdichten Windgutachter sie zu einer Häufigkeitsverteilung: wie viele Stunden der Wind in jedem Geschwindigkeitsbereich weht. Die Weibull-Verteilung bildet dieses Histogramm mit nur zwei Zahlen erstaunlich gut nach, dem Formfaktor k und dem Skalenfaktor c.

Du kannst mit dem anfangen, was du weißt:

  • Mittelwert + k: der Normalfall, etwa aus dem Global Wind Atlas;
  • Mittelwert + Standardabweichung: aus der Statistik eines Datenloggers; k wird exakt aus σ/v̄ gelöst;
  • k + c: direkt aus einem Windatlas oder einem Gutachten.

Der Rechner zeichnet dann Dichte- und Summenkurve, listet Stunden und Energieanteil für jede Geschwindigkeitsklasse auf und gibt die Betriebsstunden einer Anlage mit deiner Einschalt-, Nenn- und Abschaltgeschwindigkeit an.

Die Formeln

pdf: f(v) = (k / c) × (v / c)^(k−1) × exp(−(v / c)^k) cdf: F(v) = 1 − exp(−(v / c)^k)

Mittelwert v̄ = c × Γ(1 + 1/k) σ = c × √(Γ(1 + 2/k) − Γ(1 + 1/k)²) Median = c × (ln 2)^(1/k) Modalwert = c × ((k − 1) / k)^(1/k) Geschwindigkeit mit max. Energie = c × ((k + 2) / k)^(1/k) Stunden in Klasse [a, b] = 8,760 × (F(b) − F(a))

Rechenbeispiel: Mittelwert 6,5 m/s, k = 2

Mit den Voreinstellungen (mittlere Geschwindigkeit 6,5 m/s, k = 2):

  • Skalenfaktor c = 6,5 / Γ(1,5) = 7,33 m/s, Standardabweichung 3,40 m/s
  • Median 6,11 m/s, wahrscheinlichste Geschwindigkeit 5,19 m/s
  • die meiste Energie steckt bei 10,4 m/s, deutlich über dem Mittelwert
  • Energiemusterfaktor 1,91

Bei einer Anlage mit 3 m/s Einschalt-, 11,5 m/s Nenn- und 25 m/s Abschaltgeschwindigkeit liegt der Wind rund 7.400 Stunden im Jahr (85 %) im Betriebsbereich, etwa 750 Stunden über der Nenngeschwindigkeit, etwa 1.350 Stunden unter der Einschaltgeschwindigkeit und deutlich weniger als eine Stunde über der Abschaltgeschwindigkeit. Stellst du auf Mittelwert + Standardabweichung mit den voreingestellten 3,4 m/s um, liefert die exakte Lösung k = 2,00, die Näherung nach Justus 2,02. Im üblichen Bereich liegen beide also dicht beieinander.

So liest du die Ergebnisse

  • Dichtekurve (pdf): die relative Häufigkeit jeder Geschwindigkeit; ihr Gipfel ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit.
  • Summenkurve (cdf): der Zeitanteil unterhalb einer bestimmten Geschwindigkeit. Daran liest du zum Beispiel ab, wie viele Stunden der Wind unter der Einschaltgeschwindigkeit bleibt.
  • Diagramm Stunden pro Klasse: Die Balken sind Stunden, die Linie ist der Anteil jeder Klasse an der Windenergie. Die beiden Gipfel liegen weit auseinander: Die Zeit ballt sich bei mittleren Geschwindigkeiten, die Energie bei hohen.
  • Betriebs- und Nennstunden helfen bei der Wartungsplanung und zeigen, wie oft eine Anlage mit voller Leistung abgeregelt läuft.

Typische Werte

Klima Typisches k Mittlere Geschwindigkeit Charakter
Geschütztes Binnenland, Täler 1,3–1,7 3–5 m/s viele Flauten, gelegentlich starker Wind
Kontinentale Ebenen 1,8–2,2 6–8 m/s nahe an Rayleigh
Westeuropäische Küsten 2,0–2,3 7–9 m/s häufige Fronten
Nordsee, offshore 2,1–2,4 9–10,5 m/s kräftig und recht gleichmäßig
Passatinseln 2,8–3,5 7–9 m/s sehr gleichmäßig

Tipps

  • Auf den richtigen Mittelungszeitraum anpassen. Statistiken aus Stundenmitteln ergeben ein etwas größeres k als 10-Minuten-Daten, weil die Mittelung kurzfristige Schwankungen glättet.
  • k ändert sich mit der Höhe. Meist steigt es bis etwa 50–100 m leicht an und fällt dann wieder. Nimm Parameter für die Höhe, die du brauchst, oder für den Mittelwert den Rechner für Windgeschwindigkeit in der Höhe.
  • Mit k die Daten prüfen. Ein angepasstes k unter 1,3 oder über 4 an einem gewöhnlichen Standort deutet oft auf Sensorprobleme oder Vereisung hin.
  • Danach die Energie berechnen. Gib Mittelwert und k in den Windkraft-Rechner (manueller Modus) oder den Rechner für Windleistungsdichte ein.

Grenzen des Modells

Das Weibull-Modell ist eine Anpassung, kein Naturgesetz. Standorte mit zwei Windregimen (Seewind plus Sturmtiefs oder Monsun und Trockenzeit) können zweigipflig verteilt sein; eine einzelne Weibull-Kurve verteilt die Energie dann falsch auf die Klassen. Sehr windschwache Standorte haben womöglich mehr windstille Stunden, als die Kurve vorhersagt. Die Momentenmethode für Mittelwert + σ ist verlässlich, im Bereich hoher Geschwindigkeiten aber etwas ungenauer als Maximum-Likelihood oder das energieangepasste WAsP-Verfahren. Vergleiche die angepasste Kurve immer mit einem Histogramm deiner eigenen Daten, wenn du welche hast.

Methode & Annahmen

Dichte f(v) = (k/c)(v/c)^(k−1) e^{−(v/c)^k}; Verteilungsfunktion F(v) = 1 − e^{−(v/c)^k}. Mittelwert = c·Γ(1+1/k), σ = c·√(Γ(1+2/k) − Γ(1+1/k)²), Median = c(ln 2)^{1/k}, Modalwert = c((k−1)/k)^{1/k}, Geschwindigkeit mit maximaler Energie = c((k+2)/k)^{1/k}. Bei Mittelwert + σ wird k exakt aus σ/v̄ per Bisektion bestimmt (die Näherung nach Justus 1978, k ≈ (σ/v̄)^−1,086, steht zum Vergleich daneben). Stunden in einer Klasse = 8.760 × [F(b) − F(a)].

Häufige Fragen

Was ist die Weibull-Verteilung in der Windenergie?
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit zwei Parametern, die beschreibt, wie oft jede Windgeschwindigkeit an einem Standort vorkommt. Der Formfaktor k beschreibt die Schwankung (kleines k = böig, großes k = gleichmäßig), der Skalenfaktor c (in m/s) liegt nahe am Mittelwert (c ≈ 1,13 × Mittelwert bei k = 2). Sie passt zu den meisten gemessenen Windreihen gut und ist der übliche Weg, ein Windklima zusammenzufassen.
Wie berechne ich Weibull-k und -c aus Winddaten?
Am einfachsten über Mittelwert und Standardabweichung deiner Messwerte: k ergibt sich aus dem Verhältnis σ/v̄ (dieser Rechner löst das exakt; die Näherung nach Justus lautet k ≈ (σ/v̄)^−1,086), danach c = v̄ / Γ(1 + 1/k). Liegt die komplette Zeitreihe vor, passen Maximum-Likelihood oder das WAsP-Verfahren besser.
Welcher Weibull-Formfaktor ist typisch?
Die meisten Binnen- und Küstenstandorte in mittleren Breiten haben ein k zwischen 1,8 und 2,3. Böige kontinentale oder bergige Standorte kommen auf nur 1,4–1,7, Passatregionen und manche Offshore-Standorte auf 2,5–3,5. Weiß man nichts Genaueres, setzt man üblicherweise k = 2 an (die Rayleigh-Verteilung).
Was ist die Rayleigh-Verteilung?
Der Sonderfall der Weibull-Verteilung mit k = 2. Sie braucht nur die mittlere Windgeschwindigkeit und wird gern für schnelle Abschätzungen und in Normen für Windkraftanlagen verwendet (IEC 61400-1 und -12-1 geben den Jahresenergieertrag für Rayleigh-Verteilungen an).
Was ist der Energiemusterfaktor?
Das Verhältnis aus dem Mittelwert der dritten Potenzen der Geschwindigkeit und der dritten Potenz der mittleren Geschwindigkeit. Er zeigt, um wie viel ein schwankender Wind die verfügbare Leistung gegenüber einem konstanten Wind mit gleichem Mittelwert erhöht: 1,91 bei k = 2, etwa 2,7 bei k = 1,5 und 1,4 bei k = 3.
Wie viele Stunden im Jahr läuft eine Windkraftanlage?
Typischerweise 70–90 % des Jahres, weil Anlagen ab etwa 3 m/s Strom erzeugen. Bei einem Mittelwert von 6,5 m/s und k = 2 liegt der Wind rund 85 % der Zeit zwischen 3 und 25 m/s, aber nur etwa 750 Stunden über einer typischen Nenngeschwindigkeit von 11,5 m/s.

Quellen & Literatur

  1. Justus, C.G., Hargraves, W.R., Mikhail, A., Graber, D. (1978). Methods for estimating wind speed frequency distributions. Journal of Applied Meteorology 17(3)
  2. Troen, I. & Petersen, E.L. (1989). European Wind Atlas. Risø National Laboratory (Weibull-Anpassung nach WAsP)
  3. IEC 61400-12-1: Power performance measurements — AEP for Rayleigh distributions
  4. Global Wind Atlas — Weibull-Parameter k und A für jeden Standort

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